Matrices (R)
Matrix multiplication¶
Matrix multiplication एक operation है जो दो matrices से एक matrix बनाता है। पहले matrix में columns की संख्या दूसरे matrix में rows की संख्या के बराबर होनी चाहिए। परिणामस्वरूप matrix, जिसे matrix product कहा जाता है, पहले matrix की rows और दूसरे matrix के columns की संख्या रखता है। Matrices \(A\) और \(B\) का product को बस \(AB\) के रूप में दर्शाया जाता है। - Wikipedia
Matrix multiplication एक linear transformation है। इसका क्या मतलब है?
Matrices पर विचार करें
\(A=\left[\begin{matrix}1&0\\1&1\\\end{matrix}\right],\ B\ =\ \left[\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right]\)
\(A\times b\ =\ 1\times\left[\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}\right]+2\times\left[\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\\3\\\end{matrix}\right]\)
इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि b की पहली row को A के पहले column से और b की दूसरी row को A के दूसरे column से multiply किया गया है। दृश्य रूप से इसका मतलब है कि points [1,0] और [0,1] को x-y coordinate system में [1,1] और [0,1] पर shift किया गया है। नया x-axis वह line है जो [0,0] से [1,1] तक जाती है, जिसमें [1,1] पर unit amount है। नया y-axis [0,1] पर वैसा ही रहता है। Multiply करने के बाद, परिणाम नए coordinate system में vector b के coordinates होते हैं। अधिक दृश्य व्याख्या के लिए इस वीडियो को देखें।
A = matrix(c(1,0, 1, 1), nrow = 2, byrow = T)
b = matrix(c(1,2), nrow = 2, byrow = T)
A %*% b
## [,1]
## [1,] 1
## [2,] 3
Identity matrix एक square matrix है जिसमें सभी diagonal elements 1 होते हैं और बाकी 0 होते हैं। हम देख सकते हैं कि identity matrix में axes shift नहीं होते हैं। इसलिए किसी भी matrix को I के साथ multiply करने पर वही matrix प्राप्त होती है। 2x2 में identity matrix है
\(I = \left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Transpose of a matrix¶
एक matrix का transpose rows और columns को transpose या interchange करता है।
t(A)
## [,1] [,2]
## [1,] 1 1
## [2,] 0 1
t(b)
## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
दो matrices का inner product को एक transpose के product के रूप में लिखा जा सकता है। \(U.V = U^T \times V\) एक product का transpose \((AB)^T = B^T A^T\)
Range, Rank and fundamental spaces¶
एक matrix का range उन vectors का set है जो A के columns के linear combination के रूप में प्राप्त किए जा सकते हैं। हम matrix के range को सभी column vectors का span कह सकते हैं। इस linear combination द्वारा बनाए गए subspace का dimension matrix का rank होता है। दो उदाहरणों पर विचार करें:
\(A=\left[\begin{matrix}1&0\\1&1\\\end{matrix}\right], C=\left[\begin{matrix}1&2\\0&0\\\end{matrix}\right]\)
\(A\times x\) पूरे \(R^2\) space को span करता है क्योंकि दो column vectors \(a_1 = [1,1]\) और \(a_2=[0,1]\) linearly independent हैं।
दूसरी ओर, \(C\times x\) हमें x-axis पर एक सीधी line देता है।
\(\left[\begin{matrix}1&2\\0&0\\\end{matrix}\right] \times \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}x_1+2x_2\\0\\\end{matrix}\right]\)
Matrix C केवल एक सीधी line को span करता है। Matrix c के लिए range x-axis पर vectors हैं, और rank एक है, जो एक line का dimension है।
\(A \in R^{mxn}\) का column rank linearly independent columns की अधिकतम संख्या है, और row rank linearly independent rows की अधिकतम संख्या है। Column rank A के basis का आकार है, और row rank \(A^T\) के basis का आकार है। अधिक दृश्य व्याख्या के लिए इस वीडियो को देखें।
library(Matrix)
rankMatrix(A)[1]
## [1] 2
C = matrix(c(1,0, 2, 0), nrow = 2, byrow = T)
rankMatrix(C)[1]
## [1] 1
Vectors जो matrix A के साथ multiply करने पर zero vectors देते हैं, उन्हें Nullspace कहा जाता है। Null space का dimension null rank कहलाता है। Matrix \(A\) के लिए, केवल null vector \(x=[0,0]\) null space है, और इसलिए null rank 0 है। Matrix C के लिए, किसी भी vector का रूप \(x_1+2x_2 = 0\) matrix का null space बनाएगा। C के लिए null rank एक है क्योंकि null space एक line है। ध्यान दें कि null space का rank + matrix का column rank = columns की संख्या।
Determinants¶
\(R^2\) में, determinant वह area है जो parallelogram द्वारा unit square के बाद matrix के साथ multiply करने पर mapped होता है। इसी तरह, \(R^3\) में, यह वह area है जो parallelotope द्वारा unit cube के बाद matrix के साथ multiply करने पर mapped होता है। अधिक दृश्य व्याख्या के लिए इस वीडियो को देखें।
det(A)
## [1] 1
det(C)
## [1] 0